Class 12 भूगोल अध्याय 2 आंकड़ों का पऱक्रमण

प्रश्न 2 (iii)।
फैलाव क्या है?
उत्तर:
शब्द, 'फैलाव', केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के बारे में अंकों के बिखरने को दर्शाता है। इसका उपयोग यह मापने के लिए किया जाता है कि अलग-अलग आइटम या संख्यात्मक डेटा किस हद तक भिन्न होते हैं या औसत मूल्य के बारे में फैलते हैं। इस प्रकार, एक वितरण की बेहतर तस्वीर प्राप्त करने के लिए, हमें केंद्रीय प्रवृत्ति और फैलाव या परिवर्तनशीलता के माप का उपयोग करने की आवश्यकता है।

प्रश्न 2 (iv)।
सहसंबंध को परिभाषित कीजिए।
उत्तर:
सहसंबंध मूल रूप से डेटा के दो या दो से अधिक सेटों के बीच संबंध का एक माप है। यह एक बहुत ही उपयोगी उद्देश्य प्रदान करता है।

प्रश्न 2 (वी)।
पूर्ण सहसंबंध क्या है?
उत्तर:
पूर्ण सहसंबंध का अर्थ है कि दो चरों के बीच आनुपातिक संबंध है। यदि x को दोगुना करने पर y का मान भी दोगुना हो जाता है, तो यह पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध है। दूसरी ओर, यदि चर x को दोगुना करने पर, y का मान आधा हो जाता है, तो इसे पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध कहा जाता है।

प्रश्न 2 (vi)।
सहसंबंध की अधिकतम सीमा क्या है?
उत्तर:
सहसंबंध का मान -1 और +1 के बीच होता है। यह शून्य के करीब है, कमजोर सहसंबंध है; यह ±1 के करीब है, सहसंबंध मजबूत है। प्रतीकात्मक रूप से -1≤ आर ≤ +1।

3. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 125 शब्दों में दीजिए।

प्रश्न 3 (i)।
एक सामान्य वितरण और विषम वितरण में माध्य, माध्यिका और बहुलक की सापेक्ष स्थिति को आरेखों की सहायता से समझाइए।
उत्तर:
(ए) सामान्य वक्र: इस वक्र में, उच्चतम आवृत्ति केंद्र में होती है और बाईं और दाईं ओर दोनों पूंछ समान रूप से होती हैं। यह एक यूनिमॉडल वक्र है जिसमें माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं। इसे घंटी के आकार का या सममित वक्र के रूप में भी जाना जाता है। यह नीचे दिखाया गया है:

(बी) सकारात्मक रूप से तिरछा वक्र: यह एक सममित वक्र है जिसमें ग्राफ के दाहिने हाथ की ओर एक पूंछ होती है और डेटा के निचले मूल्यों के लिए आवृत्तियां अधिक होती हैं। इन हिस्टोग्राम में वितरण के बाईं ओर वक्र होता है। यदि दाहिनी पूंछ लंबी है, तो वितरण का द्रव्यमान बाईं ओर केंद्रित है। इसके अपेक्षाकृत कम मूल्य हैं। यह नीचे दिखाया गया है:

(सी) नकारात्मक रूप से तिरछा वक्र: यह एक सममित वक्र है जिसमें ग्राफ के बाईं ओर एक पूंछ होती है और डेटा के उच्च मूल्यों के लिए आवृत्तियां अधिक होती हैं। बाईं पूंछ लंबी है, वितरण का द्रव्यमान आकृति के दाईं ओर केंद्रित है। इसके अपेक्षाकृत कम मूल्य हैं। वितरण को बाएं-तिरछा कहा जाता है। यह नीचे दिखाया गया है:

प्रश्न 3 (ii)।
माध्य, माध्यिका और बहुलक की प्रयोज्यता पर टिप्पणी (संकेत: उनके गुण और अवगुण से)
उत्तर:
माध्य:

• यह केन्द्रीय प्रवृत्ति के सभी मापों में सबसे सरल है।
• यह एक श्रृंखला की सभी वस्तुओं पर आधारित है। इसलिए, यह विभिन्न वस्तुओं का प्रतिनिधि मूल्य है।
• यह एक मूल्य है। इसमें अनुमानित मूल्यों की कोई गुंजाइश नहीं है।
• यह केंद्रीय प्रवृत्ति का एक स्थिर रूप है।
• इसका उपयोग तुलना के लिए किया जा सकता है।

माध्यिका:

• माध्यिका श्रृंखला के चरम मूल्यों से प्रभावित नहीं होती है।
• माध्यिका ज्ञात करने के लिए केवल मध्य मान और उनकी इकाइयाँ ही पर्याप्त हैं।
• माध्यिका को आँकड़ों के ग्राफिक निरूपण के माध्यम से भी निर्धारित किया जा सकता है।
• एक श्रंखला में माध्यिका मान सदैव निश्चित होता है।
• औसत मूल्य एक वास्तविक मूल्य है।

तरीका:

• बहुलक केन्द्रीय प्रवृत्ति का एक बहुत ही सरल माप है।
• यह चरम और सीमांत मूल्यों से कम प्रभावित होता है।
• मोड श्रृंखला का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व है।
• इसे ग्राफिक रूप से भी निर्धारित किया जा सकता है।

प्रश्न 3 (iii)।
एक काल्पनिक उदाहरण की सहायता से मानक विचलन की गणना की प्रक्रिया को समझाइए।
उत्तर:
मानक विचलन (एसडी) फैलाव का सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला उपाय है। इसे विचलन के वर्गों के औसत के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी गणना हमेशा माध्य के आसपास की जाती है। मानक विचलन परिवर्तनशीलता का सबसे स्थिर माप है और इसका उपयोग कई अन्य सांख्यिकीय कार्यों में किया जाता है। ग्रीक वर्ण a इसे दर्शाता है।
कदम:

• एसडी प्राप्त करने के लिए, माध्य (x) से प्रत्येक स्कोर का विचलन पहले वर्ग (x 2 ) है।
• यह विचलन के सभी नकारात्मक संकेतों को सकारात्मक बनाता है। यह एसडी को माध्य विचलन की प्रमुख आलोचना से बचाता है जो मापांक x का उपयोग करता है। फिर, सभी वर्ग विचलनों को जोड़ दिया जाता है -x 2
• (इस बात का ध्यान रखा जाना चाहिए कि इनका योग पहले न हो और फिर चुकता न हो)।
• वर्ग विचलन (x 2 ) के इस योग को मामलों की संख्या से विभाजित किया जाता है और फिर वर्गमूल लिया जाता है। इसलिए, मानक विचलन को मूल माध्य वर्ग विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है।

निम्नलिखित वितरण के लिए मानक विचलन की गणना करें:

समाधान:
समूहीकृत डेटा के लिए एसडी प्राप्त करने की विधि नीचे दी गई तालिका में बताई गई है। कॉलम 4 तक के शुरुआती चरण वही हैं जो हमने समूहीकृत डेटा के लिए माध्य की गणना में अपनाए थे। हम शून्य के विचलन मूल्य से शुरू करते हैं जो समूह को सौंपा गया है। बुद्धिमान की तरह अन्य विचलन निर्धारित किए जाते हैं। कॉलम 4(fx') में मान पिछले दो कॉलम में मानों के गुणन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। कॉलम 5(fx' 2) में दिए गए मानों को कॉलम 3 और 4 में दिए गए मानों को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। फिर विभिन्न कॉलमों को जोड़ दिया गया है।

मानक विचलन की गणना के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

प्रश्न 3 (iv)।
फैलाव का कौन सा माप सबसे अस्थिर आँकड़ा है और क्यों?
उत्तर:
परास सबसे अस्थिर आँकड़ा है क्योंकि:

• रेंज सभी शर्तों पर आधारित नहीं है। केवल चरम वस्तुएं ही इसके आकार को दर्शाती हैं। इसलिए, रेंज पूरी तरह से डेटा का प्रतिनिधि नहीं हो सकता क्योंकि अन्य सभी मध्य मूल्यों को नजरअंदाज कर दिया जाता है।
• उपरोक्त कारण से, परास फैलाव का एक विश्वसनीय माप नहीं है।
• रेंज कम से कम नहीं बदलती, भले ही अन्य सभी, बीच में, शब्द और चर बदल दिए गए हों।
• नमूने के उतार-चढ़ाव से रेंज बहुत अधिक प्रभावित होती है। नमूने से नमूने तक की सीमा बदलती है। जैसे-जैसे नमूने का आकार बढ़ता है, सीमा बढ़ती जाती है और इसके विपरीत।
• यह हमें अन्य डेटा की परिवर्तनशीलता के बारे में कुछ नहीं बताता है।
• ओपन-एंड अंतराल के लिए, रेंज अनिश्चित है क्योंकि पहले और आखिरी अंतराल की निचली और प्रकट सीमाएं नहीं दी गई हैं।

प्रश्न 3 (वी)।
सहसम्बन्ध की मात्रा पर विस्तृत टिप्पणी लिखिए।
उत्तर:
सहसंबंध के गुणांक के माध्यम से, हम दो चरों के बीच सहसंबंध की डिग्री या सीमा को माप सकते हैं। सहसंबंध के गुणांक के आधार पर, हम यह भी निर्धारित कर सकते हैं कि सहसंबंध सकारात्मक है या नकारात्मक और इसकी डिग्री या सीमा भी।

पूर्ण सहसंबंध: यदि दो चर एक ही दिशा में और समान अनुपात में बदलते हैं, तो दोनों के बीच का संबंध पूर्ण सकारात्मक होता है। कार्ल पियर्सन के अनुसार, इस मामले में सहसंबंध का गुणांक +1 है। दूसरी ओर, यदि चर विपरीत दिशा में और उसी अनुपात में बदलते हैं, तो सहसंबंध पूर्ण नकारात्मक होता है। इसका सहसंबंध गुणांक -1 है। व्यवहार में हम शायद ही कभी इस प्रकार के सहसंबंधों को पाते हैं।

सहसंबंध की अनुपस्थिति: यदि दो चर की दो श्रृंखला उनके बीच कोई संबंध प्रदर्शित नहीं करती है या चर में परिवर्तन से दूसरे चर में परिवर्तन नहीं होता है, तो हम दृढ़ता से कह सकते हैं कि दो चर के बीच कोई सहसंबंध या बेतुका सहसंबंध नहीं है। ऐसी स्थिति में सहसंबंध का गुणांक 0 होता है।

सहसंबंध की सीमित डिग्री: यदि दो चर पूरी तरह से सहसंबद्ध नहीं हैं या सहसंबंध का पूर्ण अभाव है, तो हम सहसंबंध को सीमित सहसंबंध कहते हैं। यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है लेकिन ± 1 की सीमा के साथ होता है।
उच्च डिग्री, मध्यम डिग्री या निम्न डिग्री इस तरह के सहसंबंध की तीन श्रेणियां हैं। निम्न तालिका गुणांक या सहसंबंध के प्रभाव (या डिग्री) को प्रकट करती है।

प्रश्न 3 (vi)।
रैंक ऑर्डर सहसंबंध की गणना के लिए विभिन्न चरण क्या हैं?
उत्तर:
चरण 1: डेटा के दोनों सेटों को रैंक करें। सबसे बड़ा मान रैंक 1, दूसरा सबसे बड़ा मान रैंक 2, आदि दें।
चरण 2: रैंकों में अंतर की गणना करें, d।
चरण 3: अंतरों के वर्गों की गणना करें (डी 2 )।
चरण 4: इन वर्ग अंतरों के योग की गणना करें,मैंडी2
चरण 5: स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक इस योग को निम्न सूत्र में प्रतिस्थापित करके पाया जाता है:

जहां n आपके पास डेटा के कितने जोड़े हैं।
उदाहरण: नीचे दिए गए डेटा से रैंक सहसंबंध खोजें:

तो, डेटा के इस सेट के लिए, समाप्त समीकरण इस तरह दिखता है:

उच्च सकारात्मक सहसंबंध।

गतिविधि

प्रश्न 1.
भौगोलिक विश्लेषण पर लागू होने वाला एक काल्पनिक उदाहरण लें और अवर्गीकृत आँकड़ों से माध्य की गणना के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष तरीकों की व्याख्या करें।
उत्तर:
एक कक्षा के 60 छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों के निम्नलिखित आँकड़ों से।

हल-1 (प्रत्यक्ष विधि):
अंकगणित माध्य की गणना:

यहाँ N= कुल आवृत्ति = 60

इसलिए,
औसत अंक = 41

समाधान -2 (लघु कट विधि):
अंकगणित माध्य की गणना:

प्रश्न 2.
विभिन्न प्रकार के पूर्ण सहसंबंधों को दर्शाने वाले स्कैटर प्लॉट बनाएं
उत्तर:
पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध: यदि सभी बिंदु एक बढ़ती सीधी रेखा पर स्थित हैं तो सहसंबंध पूरी तरह से सकारात्मक है और r=+1

पूर्ण नकारात्मक सहसंबंध: यदि सभी बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं सहसंबंध पूर्णतः ऋणात्मक है और r = -1 है।

सकारात्मक सहसंबंध की उच्च डिग्री:
यदि बिंदु ऊपर की ओर उठने वाली एक संकीर्ण पट्टी में स्थित हैं, तो सहसंबंध उच्च स्तर का सकारात्मक है।

नकारात्मक सहसंबंध की उच्च डिग्री:
यदि बिंदु नीचे की ओर गिरने वाली एक संकीर्ण पट्टी में स्थित हैं, तो सहसंबंध उच्च स्तर का नकारात्मक है।

सकारात्मक सहसंबंध की निम्न डिग्री:
यदि बिंदु ऊपर की ओर उठने वाली एक विस्तृत पट्टी पर व्यापक रूप से फैले हुए हैं, तो सहसंबंध निम्न डिग्री सकारात्मक है।

नकारात्मक सहसंबंध की निम्न डिग्री:
यदि बिंदु नीचे की ओर गिरने वाली एक विस्तृत पट्टी पर व्यापक रूप से फैले हुए हैं, तो सहसंबंध निम्न डिग्री नकारात्मक है।